Linjär algebra

Mål

Den studerande ska tillägna sig kunskaper om grundläggande matematiska begrepp och metoder från linjär algebra som används inom statistik. Efter avslutad kurs ska den studerande kunna läsa och förstå linjär algebra som förekommer i vetenskapliga texter i statistik, samt själv kunna genomföra logiska resonemang och matematiska beräkningar i linjär algebra. Detta innefattar att den studerande ska

• kunna lösa linjära ekvationssystem med successiv eliminering, samt känna till de olika möjliga lösningsmängderna och den geometriska tolkningen.
• känna till begreppet vektor i godtycklig dimension.
• kunna beräkna skalärprodukter och projektioner av vektorer.
• känna till begreppet matris och kunna utföra matrisberäkningar, samt lösa enkla matrisekvationer.
• kunna beräkna determinanter och känna till determinanters betydelse för linjärt beroende/oberoende samt för lösningen av ekvationssystem.
• känna till exempel på linjära avbildningar och hur dessa representeras av matriser.
• känna till begreppen bas och koordinater, samt kunna använda ortogonala matriser för basbyten.
• kunna bestämma egenvärden och egenvektorer.
• kunna diagonalisera symmetriska matriser och tillämpa detta på kvadratiska former.
• kunna använda minsta kvadrat-metoden och känna till den geometriska tolkningen.

Innehåll

Följande behandlas i kursen.

• Linjära ekvationssystem: successiv elimination och bakåtsubstitution, lösningsmängder, geometrisk tolkning.
• Matriser: multiplikation, transponat, rang, spår, invers, enkla ekvationer.
• Vektorer: geometriska vektorer, skalärprodukt, projektion, koordinater, linjärkombination, linjärt beroende/oberoende.
• Baser: ortonormala baser, basbyten, ortgonala matriser, Gram-Schmidt-ortogonalisering.
• Determinanter: definition, beräkning av ordning 2 och 3, relationen till linjärt beroende/oberoende och ekvationssystem.
• Linjära avbildningar: geometriska exempel, matris-representation.
• Diagonalisering: egenvärden, egenvektorer, spektralsatsen, beräkning för matriser av ordning 2 och 3.
• Kvadratiska former: matris-representation, diagonalisering.
• Minsta kvadrat-metoden: överbestämda ekvationssystem, geometrisk tolkning, kurvanpassning.