Geometri med tillämpningar

Mål

Kursen ska presentera metoder och begrepp i modern geometri, dvs teorin som beskriver geometriska avbildningar (eller transformationer). Kursen behandlar euklidisk och icke-euklidisk geometri samt projektiv och ändliga geometrier. Upptäckten av icke- euklidiska geometrier var ett stor genombrott inom matematik och naturvetenskap. Genom att generalisera och axiomatisera begreppet “euklidisk avbildning” leds vi till ett allmänt begrep geometri, som blir ram och grund för tillämpningar såsom robotik, datorgrafik och animering, statistik och kodning.

Efter avslutad kurs ska studenterna kunna redogöra för, tillämpa, modellera och lösa problem genom att använda de relevanta begrepp och metoder som är beskrivna i kursinnehållet.

Innehåll

Undersökning av grupper: cykliska och dihedriska grupper, Lagranges sats. Kvaternioner. Stereografiska avbildningen.

Geometrin hos det euklidiska planet: isometrier, speglingar, orienteringsbevarande och orienteringsomkastande isometrier. Fris- och tapetmönster. Isometrier i tre dimensioner. Hyperboliska och elliptiska geometrier.

Projektiva planet: harmoniska mängder, perspektivitet och projektivitet, kägelsnitt i projektiva planet, dubbelförhållande, kollineationer och polaritet. Tillämpningar inom datorgrafik.

Axiomatiska system: de ändliga projektiva planen. Tillämpningar på felrättande koder. Tillämpningar inom konfigurationer, block-design och latinska kvdrater.