Matematiska algoritmer och modeller

Mål

Inom beräkningsmatematik utvecklas och analyseras numeriska metoder för lösning av vanligt förekommande matematiska problem, huvudsakligen från teknik och naturvetenskap. Viktiga egenskaper hos metoderna är robusthet, noggrannhet och effektivitet. Då metoderna är tänkta att implementeras på dator är det dessutom viktigt att förstå hur en dator behandlar numerisk information. Det är även viktigt att kunna formulera ett problem matematiskt på ett lämpligt sätt.

Efter avslutad kurs skall studenten kunna:

• förklara grundläggande begrepp inom beräkningsvetenskap samt veta hur en dator lagrar tal och med vilken precision aritmetiska operationer kan utföras.
• förstå hur matematiska problem kan lösas approximativt genomdiskretisering samt kunna använda ett urval av numeriska algoritmer föratt lösa matematiska problem från tillämpningar med dator.
• diskutera möjliga felkällor vid numeriska beräkningar och uppskatta noggrannheten i beräknade resultat.
• formulera ett praktiskt problem som en matematisk modell på ett sätt som lämpar sig för lösning med mjukvara.
• utveckla programvara för att lösa praktiska problem från tillämpningar.

Inom basgruppsmomentet ska studenten:

• Självständigt och i grupp kunna identifiera inlärningsbehov i relation till givna problem relaterade till terminens kurser.
• Samarbeta med kollegor både i lärande och i problemlösning, samt leda tekniska problemlösningssituationer kopplade till terminens områden.
• Bidra till diskussion och resultat i en basgrupp.

Innehåll

Felanalys och talrepresentation: IEEE standard för talrepresentationi datorer. Maskinprecisionen. Analys av beräkningsfel. Kancellation.Felfortplantning och Felkällor.

Interpolation: Polynom- och Splineinterpolation. B-splines. Beskrivning av kurvor och ytor med Bezier polynom.

Lösning av matematiska ekvationer med hjälp av mjukvara: Fixpunktsiteration. Newton-Raphsons metod. Metoder baserade på Polynominterpolation. Implementering av kvadratrot och division på dator.

Beräkning av Integraler: Trapetsmetoden med feluppskattning. Adaptiva metoder och Rekursion.

Ordinära differentialekvationer: Eulers och Runge-Kuttas metoder. Adaptiva metoder. System av differentialekvationer. Lösbarhet och stabilitet. Simularing av fysikaliska fenomen med hjälp av datorprogram

Matematisk modellering: Fysikaliska enheter. Omskrivning till dimensionslöst problem. Diskreta och kontinuerliga modeller. Modeller med inslag av slumpmässighet. Slumptalsgenerering på dator.Programmering i Python: Implementering av numeriska algoritmer. Visualisering av beräkningsresultat.