Tillämpad topologi, TDA

Mål

Topologisk dataanalys, TDA, har blivit ett viktigt verktyg i maskininlärning och artificiell intelligens. Kursen kommer att ge nödvändiga begrepp, metoder och verktyg inom homologi (persistent homologi och persistenta diagram) för att ha effektiva metoder för att studera datamoln och andra objekt i dataanalys.

Efter kursen ska studenten vara förtrogen med de grundläggande begreppen inom topologisk komplex, homologi och persistent homologi, och dess användning i dataanalys och andra ämnen, speciellt ska studenten kunna:

• approximera datamoln och andra geometriska objekt med topologiska komplex och med filtreringar beräkna den persistenta homologin för dessa matematiska objekt och de persistenta diagrammen.
• ge tillförlitliga tolkningar av de topologiska invarianterna i tillämpningar inom teknik och humaniora.
• använda mjukvarupaket för att beräkna homologi av komplex och persistenta diagram och att utföra analysdata med dessa metoder.

Innehåll

• Homologi: CW-komplex och enkla komplex. Konstruktion av komplex från data: Čech- och Ripskomplex. Filtrering och diskret morseteori. Komplex homologi. Metoder för att beräkna homologi.
• Persistent homologi: Definition av persistent homologi, persistent diagram. Beräkningar av persistenta diagram. Stabilitetssatsen
• TDA och andra applikationer: Vad är TDA, exempel och applikationer. Tillämning av diskret optimering. Konstruktion av komplex från data. Digital topologi. Konfigurationsrum.