Matematik: Flervariabelanalys

Mål

Efter avslutad kurs skall den studerande kunna - formulera, förklara och använda grundläggande begrepp, räknelagar och centrala satser och metoder inom flervariabelanalys - uppvisa grundläggande färdigheter i kalkyl, problemlösning och tillämpningar inom flervariabelanalys genom tillämpning av dess centrala begrepp, satser och metoder - utföra standardmässiga beräkningar inom flervariabelanalys med god säkerhet - undersöka gränsvärden, kontinuitet, deriverbarhet och differentierbarhet samt använda kedjeregeln för att transformera och lösa partiella differentialekvationer - förklara den geometriska betydelsen av riktningsderivata och gradient samt bestämma ekvationer för tangenter och tangentplan - genomföra undersökningar av lokala maxima och minima - förklara en implicit given funktions uppförande exempelvis genom att taylorutveckla med hjälp av implicit derivering - beräkna multipelintegraler med hjälp av upprepad integration och med hjälp av olika variabelbyten såsom linjära, polära och rymdpolära - genomföra konvergensundersökningar av och beräkna generaliserade multipelintegraler - utföra kontroller av resultat och delresultat för att verifiera att dessa är korrekta eller rimliga

Innehåll

Inom flervariabelanalysen behandlar kursen rummet R^n samt topologiska grundbegrepp och funktioner från R^n till R^p med funktionsytor, nivåkurvor och nivåytor. Dessutom arbetar studenten med följande innehållsområden: Gränsvärde och kontinuitet. Partiella derivator. Differentierbarhet och differential. Kedjeregeln. Gradient, normal, tangent och tangentplan. Taylors formel. Lokala och globala maxima och minima. Implicit givna funktioner och implicit derivering. Multipelintegraler. Upprepad integration. Variabelbyte genom linjära byten, polära koordinater och rymdpolära koordinater. Area, volym, orientering om massa och tyngdpunkt. Utgående från grundläggande definitioner och axiom, och med hjälp av logiska resonemang och bevis samt färdighetsträning i form av såväl räkneövningar som teoretiska resonemang, arbetar studenten med att lösa uppgifter, välja lämplig lösningsgång, undersöka och förklara matematiska samband, samt illustrera och presentera lösningar.