Differentialgeometri

Mål

Kursens mål är att ge kunskap om kurvors och ytors geometri genom att använda tekniker från analysen. Kursen integrerar många begrepp från olika delar av matematiken såsom linjär algebra, vektoranalys och differentialekvationer. Kursens exempel spelar en fundamental roll i fysik och mekanik. De är viktiga för vår förståelse av partiklars rörelse och i relativitetsteori. Efter fullgjord kurs skall studenten kunna:

• Bestämma och beräkna krökning av kurvor i olika koordinatssytem.
• Parametrisera ytor och använda den metriska tensorn.
• Beräkna isometrier hos ytor
• Behandla geodeser och parallellförflyttning.
• Beräkna och analysera ytkrökningen i olika sammanhang
• Vara bekanta med tensorbegreppet och känna till flera tensorer som används i mekanik, bildbehandling och relativitetsteori.
• Tillämpa geometri hos kurvor och ytor på datorgrafik

Innehåll

Kurvor: tangentvektorer, krökning och torsion. Frenet-Serrets ekvationer och fundamentalsatsen för kurvor. Kontakt. Sfäriska kurvor, evoluta och involuta. Reguljära ytor: kartor och tangentplan. Första fundamentalformen: normal och geodetisk krökning, Gauss formler, geodeser och parallellförflyttning. Andra fundamentalformen: Weingartens ekvationer, principalkrökningar, Gauss- och medelkrökning. Minimala och utbredbara ytor. Riemanntensorn, Riccitensorn, Codazzi-Mainardis ekvationer. Gauss Theorema Egregium. Isometrier och konforma avbildningar. Gauss-Bonnets sats. CAD-tillämpningar